Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Sehr guten Morgen zusammen.

Wir sind im Endspurt, was das Kapitel Kulinertheorie und dann auch insbesondere, was jetzt ansteht, der Rahmenwendung auf das Problem der Linearoptivierung, insbesondere Simplex-Aufnahmen betrifft.

Ich hoffe, dass wir das sicher noch vor Weihnachten schaffen, um jeden Zwei-Til auszuräumen.

Und auf Freitag ist natürlich auch eine Vorlesung, die seit der Behörderschaft singt, unter die akademischen drei, die dazu notwendig sind.

Ich hoffe, dass das nicht der Fall ist.

Also wir haben jetzt ziemlich viel Informationen über Polyeda gesammelt und im Rückblick kann man sagen, eigentlich Polyeda, wenn man die etwas entarteten Fälle aus dem Vorlesen wechselt, ist eine recht einfache Geschichte.

Es ist etwas, was sozusagen netkosiv aufgebaut ist, es ist eine geometrische Struktur, die wiederum von niederdimensionalen Polyeden bereitet wird, die wieder von niederdimensionalen Polyeden bereitet sind.

Es sei denn, diese Randfläche ist ein ganzer, erfinierter Raum.

Wenn das nicht der Fall ist, kommt es sozusagen herunter bis zu den eigentlich niederdimensionalen Seiten, den Ecken, und die spielen eine ganz wesentliche Rolle in der Algorithmik von linearer Optimierungsproblemen.

Jetzt soll es also jetzt konkret um lineare Optimierung gehen, das heißt, wir haben ein lineares Funktional.

Das heißt also etwas von dem Typ, etwas von dem Typ F von X, X ist gleich ein Hektar aus dem Rn oder entlang der niederdimensionalen Raum, aber bei der Formulierung des,

zum Beispiel der Algorithmik, der jetzt im Begriff zur Fahrt her muss, dann gleich konkret auf den Rn beschränken.

Etwas, was gegeben ist, mit einem vorgegebenen Wechsel Z, ist das Skalarprodukt mit X.

Wir hatten schon erwähnt, und das bleibt einzusehen, dass alle linearen Funktionalen auf dem Rn oder allgemein auf dem niederdimensionalen realen Raum mit Skalarprodukt auf diese Weise dargestellt werden können.

Dann steht eben hier das Skalarprodukt. Also wir machen es jetzt mal ganz konkret.

Dann steht hier das Skalarprodukt, und das ist natürlich das Allereinfachste, was man sich überhaupt als Funktional vorstellen kann.

Minimierung, linearer Optimierung heißt, ein solches Funktional auf eine Polyeda zu minimieren.

Man könnte genauso gut sich die Maximierungsaufgabe anschauen.

Manche Texte formulieren das auch als Maximierungsaufgabe. Es ist klar, die Minimierungsaufgabe,

die Minimierungsaufgabe ist äquivalent mit einer Maximierungsaufgabe, wenn man das C durchminen als C ersetzt.

In ökonomischen Anwendungen hat man oft Maximierungsaufgaben lieber als Minimierungsaufgaben.

Das kommt ganz drauf an, was man eben beschreibt.

Okay, also wir wählen die Formulierung mit der Minimierung des aber beiden Konvention.

Okay, vielleicht, wir haben ja schon einen Satz formuliert.

Da ist eine Aussage über die Existenz von minimal in der Funktion auf Polyeden macht und nachdem diese dann angenommen werden.

Das wollen wir uns jetzt gleich noch ein bisschen genauer anschauen.

Und als Vorbereitung schauen wir uns einfach noch einmal die Minimierung eines solchen Funktions an und für sich an.

Wie gesagt, das ist denkbar einfach.

Nehmen wir mal an, wir nehmen ein X aus einem affinen Raum her, der die Gestalt hat,

irgendein Vektor A plus das artikonale Komplement von C.

Wie sieht denn dann F und X auf dieser Menge aus?

Das ist eine wachsende Funktion, eine feinende, eine Minimum, eine Megapixel Minimal.

Wir setzen heute einfach ein.

Erstens haben wir eine

und zweitens haben wir so etwas mit C transponiert A, das ist ja keine Konstante und der Rest ist schlichtweg Null.

Das heißt, wir haben hier eine Minimum, eine Megapixel Minimal.

Das ist ein Vektor A plus ein Vektor B.

Das ist ein Vektor B.

Das ist ein Vektor A plus ein Vektor B.

Zwei Zettel C transponiert A, das ist ja keine Konstante und der Rest ist schlichtweg Null.

Das heißt, wir haben hier natürlich eine konstante Funktion.

Das ist ein sehr ausgearteter Fall.

Das kann einem passieren, wenn man auf einen niedertimensionalen Polyeder minimieren will

und ihm dieses Polyeder gerade eine Niveau-Menge, also Teil einer Niveau-Menge des Funktionales ist.

Da ist nicht viel zu machen, das Funktional ist konstant.

Minimal wird überall eingefallen.

Der andere Fall, der andere extreme Fall ist, wir haben ein, ich mache jetzt ein anderes A-Seil als hier,

wir haben einen affinen Raum, der ist einfach der eindimensionaler Raum, der durch die Richtung C aufgespannt wird.

Wir gehen natürlich davon aus, dass C ungleich und null ist, sonst ist da auch nicht weggenviel zu minimieren.